¿Es el rigor únicamente posible en las matemáticas?
Autor: David Blanco Viñas
El artículo de hoy se propone ofrecer un análisis superficial de los motivos por los que las matemáticas son consideradas una ciencia o, al menos, el lenguaje de la misma; explicar por qué son empleadas por las ciencias naturales y explicitar qué diferencia al lenguaje matemático del lenguaje natural — el que usamos para expresarnos en nuestro día a día —, de manera que podamos entender qué reviste de rigor al estudio de los esquemas temporales y si ese rigor se puede encontrar en algún otro lugar.
En primer lugar es conveniente que se establezca la diferencia entre las matemáticas y el lenguaje matemático. Las primeras se pueden considerar un modelo constituido por juicios analíticos y juicios sintéticos a priori sobre el espacio y el tiempo como morfés puros a priori de la sensibilidad. Lo segundo, por su parte, es mera notación, una forma de expresar esos juicios que se adopta convencionalmente. No entraremos aquí en los motivos sociológicos para preferir un estilo de expresión sobre otro, pero debería ser evidente para el lector de la expresión "2 + 2 = 4" expresa (o puede expresar) el mismo juicio que la expresión "dos más dos es igual a cuatro". La primera expresión es un ejemplo de lenguaje matemático, mientras que la segunda puede ser considerada mero lenguaje natural. Obviaremos aquí el hecho de que el lenguaje matemático no tiene una manifestación oral preestablecida y suele tomarla del lenguaje natural.
El lenguaje matemático, que será el protagonista de este artículo, no es nuevo, pero tampoco sería correcto afirmar que tiene siglos de historia; en su lugar, se ha ido desarrollando paralelamente a la disciplina que lo ha utilizado. Es famosa y reconocida, por ejemplo, la diferencia entre los sistemas de notación para el cálculo que desarrollaron de manera independiente Isaac Newton y Gottfried Wilhelm von Leibniz, siendo el de este último el que se impuso en la mayoría de los casos. Con todo, ambos sistemas pretendían ser claros y unívocos, estableciendo unas reglas claras para la semántica y la sintaxis de sus símbolos. Esa será, como veremos más adelante, la clave en este asunto tan peliagudo.
No cuestionamos que 2 + 2 = 4, al menos no en nuestra aplicación de las matemáticas a nuestra realidad más cotidiana. Sin embargo, parece que es solamente en ese conocimiento matemático donde hallamos verdadera certeza, donde nos parece que nuestras creencias están más allá de toda duda razonable. Puede que una persona promedio no pueda aportar una sofisticada demostración que justifique su creencia, pero estará plenamente convencida — y probablemente su interlocutor también — de que si suma 2 y 2 el resultado será 4. ¿De dónde proviene esta certeza? Uno podría pensar que se trata de una certeza meramente subjetiva con base en la memorización de cuentas recurrentes; o incluso podrían argumentar que 2 + 2 = 4 por definición, pero ambas perspectivas se alejan mucho de la realidad.
Como hemos dicho anteriormente, "2 + 2 = 4" no es más que la expresión de un juicio de un juicio sintético a priori de las matemáticas en notación matemática. Esa notación, aunque puede asemejarse al lenguaje natural a la hora de leer, es distinta de este, y solamente se emplea en el ámbito concreto de las matemáticas, donde se adopta por convención. El lenguaje, por su lado, se emplea, por defecto, en todos los ámbitos en los que el lenguaje y la comunicación que este posibilita son necesarios o deseables. Esta es una característica del lenguaje natural, la versatilidad, resulta muy útil a la hora de expresarse cuando se carece de un lenguaje técnico o este simplemente no se domina, pero tiene una importante contraparte: la laxitud necesaria para posibilitar esa versatilidad.
Para que el lenguaje natural pueda ser utilizado en la práctica totalidad de los ámbitos, este no puede unas asociaciones semánticas demasiado fuertes, pues esto limitaría enormemente su capacidad de referencia. Adicionalmente, una sintaxis adaptada a las necesidades de un campo concreto optimizaría su uso en ese campo, pero podría entorpecerlo en otros tantos. De este modo, la potencia de los lenguajes de uso técnico, en contraste con el lenguaje natural, reside en su adaptabilidad , su capacidad para adecuarse a las necesidades concretas de un uso limitado.
Sin embargo, disciplinas como la biología o la medicina, en donde el uso de notación matemática es inexistente o está muy restringido, nos hacen ver que el lenguaje natural se puede tecnificar, aunque no de manera tan palmaria como con el lenguaje matemático. Expresiones como "los ribosomas son orgánulos de la célula" o "La bacteria E.coli puede producir insulina gracias a la ingeniería genética" son lo suficientemente claros y unívocos como para que alguien que conozca el significado de todas las palabras implicadas y pueda interpretar así estos juicios sintéticos a posteriori asienta sin vacilación.
En la filosofía podemos observar el mismo fenómeno, aunque no de manera tan obvia. Sobre todo es notable cuando un término se asocia muy particularmente con un autor o cuando existe un consenso decente con respecto al uso de los términos, pues solamente en estos dos casos es posible preservar esa claridad y univocidad. Así, "necesario" y "contingente" son ejemplos de términos con una gran tradición filosófica que, pese a no ser utilizados exactamente de la misma manera por todos los autores, sí mantiene su sentido lo suficiente como para ser comprendido sin necesidad de que el autor lo explique pormenorizadamente. Por otro lado, "trascendental" es un término importante en los sistemas de Immanuel Kant y de Edmund Gustav Albrecht Husserl, pero no parece que lo utilicen en el mismo sentido, por lo que necesitaríamos especificar nuestra intención comunicativa antes de emplear este término en una conversación, incluso si nuestro interlocutor conoce las obras de ambos autores y está familiarizado con el uso del mismo por parte de cada uno.
La clave entonces, sostengo, es la claridad y univocidad que nos permite la convención: si nos ponemos de acuerdo con respecto a uso del lenguaje, tecnificándolo en el proceso, nos es posible conseguir ese rigor que reviste al lenguaje matemático, que precisamente pasó por ese proceso para contar con las propiedades que lo caracterizan ahora. Sería incluso posible abandonar la notación matemática empleada actualmente en favor de un lenguaje natural tecnificado, lo cual podría tener sus ventajas dadas las complicaciones que exhibe esta notación a la hora de hacer filosofía de las matemáticas.